مسابقات بین المللی فیزیک دانان جوان (IYPT)

یک مثلث قائم ااویه فرض کنید، برای سادگی اندازه ی وتر آن را برابر با 1 بگیرید:

 فرض کنید در شکل بالا، زاویه ی θ تغییر کند، به سادگی می توان متصور شد که نقطه A روی یک دایره حرکت می کند. این دایره را دایره ی مثلثاتی» می نامیم. اندازه شعاع این دایره برابر با اندازه وتر یعنی 1 است: 

 اگر دایره مثلثاتی را تکمیل نماییم: 

 به دو ضلع دیگر مثلث توجه کنید. طبق قرارداد، با توجه به اندازه ی زاویه، برای مقادیر x و y طبق علامت های روی شکل، علامت مثبت یا منفی در نظر می گیریم.

 مبنای اندازه گیری زاویه، سمت مثبت محور x ها است. همچنین اگر در خلاف جهت حرکت نشان داده شده در شکل حرکت کنیم، اندازه ی زاویه را منفی در نظر می گیریم. 

می دانیم محیط دایره از رابطه 2πr محاسبه می شود. برای دایره ی مثلثاتی، r=1 و در نتیجه محیط برابر با 2π خواهد بود. همچنین می دانیم اگر کل دایره را یک کمان در نظر بگیریم، این کمان زاویه 360 درجه خواهد داشت. اگر محیط دایره مثلثاتی را با اندازه ی زاویه کمان آن مقایسه کنیم، داریم:

 360 ↔ 2π 

در مورد یک نیم دایره، می دانیم محیط نصف می شود و کمان آن 0 درجه است: 

0 ↔ 2π/2=π 

و در مورد ربع دایره، محیط، یک چهارم دایره ی کامل است و کمان آن 90 درجه است: 

90 ↔ 2π/4=π/2 

این عمل را می توان برای هر زاویه ی دیگری به همین ترتیب ادامه داد. مثلا:

 1 ↔ 2π/360=π/0 

این بیان جدید را رادیان می نامند. مثلا می گوییم 90 درجه برابر با π/2 رادیان است. این بیان، در محاسبات فیزیکی بسیار کارآمد است، چرا که زاویه را می توان با عددی از جنس طول (طول کمانی از دایره ی مثلثاتی) بیان کرد.

 یک تمرین ساده: زوایای 30 درجه، 45 درجه و 60 درجه را بر حسب رادیان بیان کنید.   

نسبت اندازه ی ضلع روبه روی زاویه ی θ به وتر را سینوس می نامند:

 sin θ=روبرو/وتر=y/r 

نسبت اندازه ی ضلع مجاور زاویه ی θ به وتر را کُسینوس می نامند:

 cos θ=مجاور/وتر=x/r 

نسبت اندازه ی ضلع روبه روی زاویه ی θ به ضلع مجاور زاویه ی θ را تانژانت می نامند:

 tan θ=روبرو/مجاور=y/x 

نسبت اندازه ی ضلع مجاور زاویه ی θ به ضلع روبه روی زاویه ی θ را کُتانژانت می نامند. کتانژانت عکس تانژانت است:

 cot θ=مجاور/روبرو=x/y 

نکته جالب: به طور کلی ومی ندارد اندازه وتر برابر با 1 باشد و برای هر مثلث قائم ااویه ای، نسبت های مثلثاتی قابل محاسبه است. مقادیر نسبت های مثلثاتی برای یک زاویه ی مشخص، مستقل از اندازه ی وتر بوده و همیشه عددی ثابت است! 

 نکته جالب دوم: سینوس چو بر روی کسینوس نشیند، تانژانت به دست آید و بالعکس کتانژانت! (اثبات کنید!):

 tan⁡〖θ=〗 sin⁡θ/cos⁡θ , cot⁡〖θ=〗 cos⁡θ/sin⁡θ 

 نکته حیاتی: برای محاسبه ی نسبت های مثلثاتی در مثلث هایی که چرخیده اند، به جای x و y، از مفاهیم ضلع رو به رو» و ضلع مجاور» استفاده کنید تا دچار سردرگمی نشوید!

مقادیر نسبت های مثلثاتی را می توان برای برخی از زاویه ها به سادگی محاسبه کرد:

همچنین مقادیر نسبت های مثلثاتی برای زاوایای بزرگتر از 90 درجه یا زوایای منفی قابل محاسبه است: